19 diciembre 2008

Coordenadas Polares








El sistema de coordenadas polares se diferencia del de coordenadas rectangulares en que en lugar de fijar la posición en función de las distancias a dos rectas fijas perpendiculares entre si Fig 1., se hace en función de la distancia a un punto fijo, llamado polo y a y la dirección con respecto a una recta fija que pasa por ese punto, Fig 2., a esta recta se le llama eje polar.



Fig 1


Las coordenadas polares de un punto P se representan como P(r, ), se denomina r a la distancia OP en tanto que es el ángulo que define la recta OP con respecto al eje polar L, en este caso. Fig 2

El valor de es positivo cuando se mide en sentido opuesto del moviiento de las agujas del reloj, r sera positivo cuando la distancia se mide desde el polo al punto y será negativo, en caso contrario.

Simetria de funciones en coordenadas polares.

Al igual que en coordenadas cartesianas rectangulares , cuando usamos coordenadas polares disponemos de una serie de criterios para verificar la simetría de un lugar geométrico.

Si la ecuación no se modifica al sustituir tita por -θ , la curva presenta simetria con respecto al eje polar.

Si al sustituir tita por π- θ, no se modifica la ecuación entonces es perpendicular al eje polar.
La curva es simétrica con rspecto al polo cuando la ecuación no varia al sustituir r por -r o cuando se sustituye tita por pi + θ.
Transformación de coordenadas polares a rectangulares

Como se puede ver en la figura 3 el punto P(r,θ) define un triángulo en el sistema cartesiano rectangular donde X representa al cateto adyacente del triangulo, y el cateto opuesto, y r es la hipotenusa:






Fig 3

Según esto se puede decir que:







Como se puede ver, volvemos al teorema de pitagoras el cual nos permite hacer la transformación de las coordenadas rectangulares (x,y) a polares (r,θ).






Por ejemplo si tengo un punto en coordenadas polares llamado P = (-2,3)


Lo que hacemos para transformar esas coordenadas al sistema polar seria, simplemente aplicar las fórmulas de radio, en función de x e y , y para obtener el ángulo usamos la última formula dada la de θ, tambien en función de x e y.



Igualmente nse puede hacer el procedimiento contrario, es decir dados los valores del radio o la longitud y el ángulo que definen el punto se puede obtener sus coordenadas rectangulares con las ecuaciones primera y segunda.
Continúa...