07 enero 2008

Derivadas. ¿Que son y como se usan?

DERIVADA
La derivada de una función en un punto mide la pendiente de la recta que es tangente a la función en un punto previamente dado.

La derivada sirve, entre otras cosas, para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia (donde la función existe).

Pero para comenzar debemos tener claro que es una recta tangente y, tambien, que es una recta secante.

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.
En esta caso la recta toca dos puntos de la misma curva.

Si se conoce la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada. Por tanto, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

En la siguiente grafica se muestra la curva y las rectas secantes (por la izquierda y por la derecha) para valores de h (distancia al punto x= 1) cada vez mas pequeños. Se muestran dos rectas secantes: una para h y otra para -h.

Observa el comportamiento de las rectas secantes conforme htiende a0.



Como se observa las rectas tienden a encontrorse en el punto intermedio y dejan de ser secantes para transformarse en tangentes en un punto (x= 1).

La recta tangente a una curva dada por y=f(x) en el punto (a,f(a)) es la recta que pasa por ese punto y que tiene como pendiente el número.



f(a+h)-f(a)

mtan =

Lim



h->0

h


Ahora:

Sea $f$ una función real definida en un intervalo $I\subset I\!\!R $. Sea $x_{o}\in I$
La derivada de f en el punto $x_o$, denotada $f'(x_o)$, es el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_o}}{\frac{f(x) - f(x_o)}{x - x_o}}}$ si este límite existe.
Y para que el límite exista la función debe ser continua en el intervalo en que se está estudiando.

Si en la definición de derivada se sustituye $x-x_o$ por h, entonces $h\rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow x_o$ y $x = x_{o}+h$

Luego $f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}}}$, si este límite existe. La función $f$ es derivable en $x_o$ si $f'(x_o)$ existe.

Si $f'(x)$ existe para cada $x$ en un intervalo $I$, $(I \subset I\!\!R)$, se dice que la función $f$ es derivable en $I$; se escribe $f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$
Como se ve las dos definiciones son parecidas. Solo hay que dar el valor de

a a la x. (X= a)


Ejercicios:

Calcular la derivada, usando la definición de:

a.- $f(x)= 5x-3$
Se debe calcular el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{(x+h)-f(x)}{h}}}$

La expresión $f(x+h)$ indica que la función $f$ debe evaluarse en $(x+h)$. Así $f(x+h)= 5(x+h)-3$

Luego:

$f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

$= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5(x+h)-3-(5x-3)}{h}}}$

$= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5x+5h-3-5x+3}{h}}}$

$= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5h}{h}}}$

$f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{5}} = 5$

Por tanto, si $f(x)= 5x-3$ entonces $f'(x)=5$
b.- $\displaystyle{f(x)= \frac{3}{x^2}, \, x\neq 0}$

En este caso $\displaystyle{f(x+h)= \frac{3}{(x+h)^2}}$

Luego:

$f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

$=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{\frac{3}{(x+h)^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{h}}}$

$=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{3x^{2}-3(x+h)^{2}}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

$=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{3x^{2}-3x^{2}-6xh-3h^{2}}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

$=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3h(2x+h)}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

$= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}}}$

$=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3(2x+0)}{x^{2}(x+0)^{2}}}}$

$= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-6x}{x^{2}.x^{2}}}}\; = \frac{-6}{x^{3}}$

Si $f(x)= \displaystyle{\frac{3}{x^{2}}}$ entonces $f'(x)= \displaystyle{\frac{-6}{x^{3}}}$

La derivada de $y = f(x)$, siempre y cuando $f$ sea una función derivable, se denota de la siguiente manera...

a. $D_{x}f(x)$ que se lee: derivada de f(x) respecto a x.
b. $D_{x}y$ que se lee: derivada de "y" respecto a x.
c. $y'$ que se lee: "y" prima.
d. f’ que se lee: "f" prima.

Pero el cálculo de derivadas se puede simplificar haciendo uso de algunas propiedades que estas poseen, entre ellas las derivadas directas que podemos encontrar en cualquier tabla de derivas del texto de tu preferencia. Tambien se consiguen en internet algunas muy prácticas como la que coloco debajo.

tabladerivadas.htm

Ejercicios:

a.- Sol:


b.- Sol:


c.-
Sol:


d.-
Sol:



e.- Sol:


f.- Sol:

g.-
Sol:


h.-
derivadas Sol: derivadas


i.- derivadas Sol: derivadas


j.- derivadas Sol: derivadas



k.-derivadas Sol: derivadas