07 enero 2008

clase Nº 7. propiedades de las derivadas.

Como en todo proceso de aprendizaje, es importante y util sistematizar la información para facilitar la comprensión de la misma, y en el caso de las derivadas tenemos algunas propiedades que nos facilitan la utilización de esta herramienta. Las conocemos como reglas de derivación y entre ellas podemos referir a las siguientes:


Regla nº 1

derivadas

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función.

Llamada también Regla del Múltiplo Constante, nos dice que derivando una una función cualquiera en la cual se presente un factor constante, este lo podemos "sacar" de la expresión matemática.

y = 5x -2

y’= (5) [(-2) x -2-1]

y’= -10x -3


Regla nº 2

derivadas

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma (y tambien de las diferencia) de las derivadas de las funciones.

La regla de la suma y de la diferencia se puede extender de forma que cubran sumas y diferencias de cualquier número finito de funciones:

Sea:

F(x)= f(x) + g(x) - h(x) + j(x)

Entonces:

F'(x) = f'(x) + g'(x) - h'(x) + j'(x)

Ejemplos:


a) y = 3x -4 + 3x 4

y’=

y’= (3) (-4)x -4-1 + (3)(4)x 4-1

y’= -12x -5 + 12x 3


b)



es decir

Regla nº 3

derivadas

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda función.

y’= x3 sen x

y’=

y’= sen x + x3

y’= sen x (3x 3-1) + x3 (cos x )

y’= sen x (3x2) + x3 cos x (1)

y’=3x2senx + x3cosx

La regla del producto puede extenderse para productos de dos o más funciones siempre y cuando todas y cada una de ellas sean derivables. Asi...

[f(x) g(x) h(x)]' = f'(x) g(x) h(x) + f(x) g'(x) h(x) + f(x) g(x) h'(x)

Regla nº 4

derivadas

LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado.






Ejemplo:

y=


y’=

y’=

y’=

y’=

y’=


y’=



Teorema

La regla de la cadena es una excelente herramienta para la resolución de funciones compuestas y potencia de forma sorprendente las reglas anteriores.

Si y =f(u) es una función derivable de u y u = g(x)es una función derivable de x , entonces
y= f(g(x)) es una función derivable en x. Por tanto:

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}(f \circ g)(x) = f(g(x)) es diferenciable en x\, y

 (f \circ g)'(x) = \frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.
Para aprender como utilizar la regla de la cadena les dejo este video que conseguí que me pareció interesante




Ejemplo:

Ejercicios:
Derivar las siguientes funciones utilizando la regla correspondiente
a) f(x) = (x3 + x)2
b) f(x) = (1 + 5x + 2x3)7
c) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) = sen (2x-1)
d) f(x) = ln(ln x)
e) f(x) = sen(cos(sen x))
f) f(x) = (7x4 - 4x3 )3
g) f(x) = sen3(sen2(sen x))
h) f(x) =
i) f(x) =
j) f(x) =
k) f(x) =
l) f(x) =
m) f(x) =



Para finalizar les dejo este video que me pareció muy interesante para conocer las aplicaciones de las derivadas.







AVISO

En las fórmulas de las derivadas que aparecen , cuando ponemos la letra DERIVADAS DE TERCER NIVEL, lo que estamos representando es una función que depende de la variable x y que realmente se debe escribir DERIVADAS DE TERCER NIVEL

Revisar esta pagina para conocer un poco más de las aplicaciones de las derivadas.
Cálculo Diferencial e Integral, aplicaciones